Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim t → 0 ⁡   e t - 1 t 3

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dado o limite

lim t → 0 ⁡   e t - 1 t 3

E nosso objetivo é resolver esse limite usando a regra de L’Hopital.

Tem ideia de como fazemos isso?

A regra de L’Hopital é um método poderosíssimo para o cálculo de limites, mas para aplicá-lo temos que ter uma indeterminação 0 / 0 , ∞ / ∞ , 0 · ∞ ...

E sua aplicação consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente até eliminarmos a indeterminação e assim calcular o limite.

lim ⁡ f x g x = lim ⁡ f ' x g ' x

Show? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar verificando a indeterminação...

L = lim t → 0 ⁡   e t - 1 t 3

Se fizermos x = 0 :

L = e 0 - 1 0 3

Fazendo as contas:

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 , então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Veja só!

Passo 3

Nosso limite incialmente era:

L = lim t → 0 ⁡   e t - 1 t 3

Assim, derivando o numerador e o denominador, temos

d e t - 1 d t = e t

d t 3 d t = 3 t 2

Substituindo no limite...

L = lim x → 0 ⁡   e t 3 t 2

Quando x → 0 :

L =   1 3 ⋅ 0

Logo, como t 2 é sempre positivo e quando x → 0 o denominador tende a um número muito pequeno, temos que o limite tende a um valor muito grande, próximo de

L = ∞

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

L = ∞

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