Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 61

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.

Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo , ou . Mas antes de verificar se a função cai nessa indeterminação, precisamos transformá-la em um quociente. Pra isso, vamos usar as propriedades de logaritmo, transforma a função em um produto e depois transformá-la em um quociente.

Assim, vamos derivar numerador e denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein), para fugir da indeterminação. E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função aplicado ao limite. Temos que:

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtemos:

E aplicando a propriedade de logaritmo:

Assim, o limite agora pode ser expresso como:

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hôspital, derivando em cima e embaixo, vamos obter:

E aplicando o limite, teremos:

Lembre-se que essa regra só pode ser aplicada em casos de indeterminações do tipo , ou e sua aplicação se resume em derivar o numerador e o denominador separadamente.