Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 85
Calcule
Passo 1
Meus queridos, essa questão é direta ao ponto, ela quer que calculemos o seguinte limite:
E estamos na seção de L’hospital do livro, portanto, faz sentido que a gente resolva esse limite por L’hospital.
Para isso, vou tentar transformar essa expressão em uma fração.
Passo 2
Primeiro, vou colocar o em evidência:
Agora vou coloca-lo no denominador como para manter a expressão:
Se substituirmos o limite, temos:
Opa, ali dentro do temos um probleminha... para resolver isso, vamos separar os termos dentro do
Agora sim, substituindo o limite, temos:
Passo 3
Como temos uma indeterminação do tipo , logo podemos aplicar a Regra de l’Hôspital, então vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão.
Começando pelo numerador:
Derivando temos:
Ajeitando isso aí, temos:
Já para o denominador, temos:
Derivando, temos:
Dessa forma, temos o seguinte limite:
Simplificando temos:
Vamos derivar então novamente
Passo 4
Ajeitando o numerador temos:
Agora derivando:
E derivando o denominador temos:
Portanto,
O que resulta em outra indeterminação
Mas agora parece que estamos chegando em algum lugar, se derivarmos novamente, acho que terminamos!
Passo 5
Derivando o numerador temos:
E derivando o denominador temos:
Dessa forma, temos:
Agora, basta derivar pela última vez de todas!!
E para o denominador:
Portanto,
E pronto, chegamos na nossa resposta finalmente!!