Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 60

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

Passo 1

Oi meus lindex’s, bora resolver mais uma? Aqui temos a função:

Para essa questão e solicitado que utilizemos uma dasa regrinha regrinhasmais famosa de Cálculo 1, rsrs, que é a regra de L’Hospital. Ela diz que:

Quando a parte esquerda da igualdade assume

A regra de L'Hôpital é uma ferramenta poderosa para calcular limites de funções que têm uma forma indeterminada deou .

Aqui a nossa função não é uma divisão, então primeiro vamos manipular ela pra chegar no formato:

Calcular o limite por substituição e ver se chegamos na indeterminação do tipo ou . Se chegarmos, a gente deriva o numerador e o denominador e calculamos o limite!

Se mesmo assim chegarmos em uma indeterminação, usamos a regra de L’Hospital de novo! Bora lá?!

Ela nos permite encontrar o limite de uma função dividida por onde ambas e tendem a zero (ou ambos tendem ao infinito), calculando o limite das derivadas dessas funções, desde que esse novo limite exista.

Formalmente, se tivermos a forma indeterminada ou podemos aplicar a regra de L'Hôpital:

Desde que e existam ou sejam infinitas. Aqui, representam as derivadas de respectivamente.

A ideia por trás dessa regra é que, quando se aproximam de zero simultaneamente (ou do infinito), suas taxas de mudança (derivadas) podem fornecer informações mais úteis sobre o comportamento da função original nesse ponto.

É importante notar que a regra de L'Hôpital não é uma regra geral para encontrar todos os limites, e só pode ser aplicada em situações específicas em que a forma indeterminada ou esteja presente.

Além disso, ela só pode ser aplicada após a verificação das condições necessárias, como a existência dos limites das derivadas.

Passo 2

Temos a função:

Aplicamos o logaritmo dos dois lados:

Aplicando a regra do peteleco, ficamos com:

Adicionando os limites dos dois lados:

Vamos focar em:

Agora sim, calculando o limite:

Podemos usar a regra de L’Regra de l'Hôpital!

Ao observar a função, podemos notar que ela é uma forma indeterminada do tipo quando se aproxima de 0.

Isso ocorre porque se aproxima de 1 e o expoente tende ao infinito conforme se aproxima de 0.

Antes de aplicar a regra de L'Hôpital, vamos tentar simplificar a expressão.

Vamos começar utilizando uma propriedade dos logaritmos:

Agora, podemos mover o expoente para fora do logaritmo:

Passo 3

Agora, podemos tentar aplicar a regra de L'Hôpital, pois temos uma forma indeterminada do tipo

Para isso, precisamos calcular o limite do logaritmo e do expoente separadamente e depois aplicar a regra de L'Hôpital se necessário.

Vamos calcular

Quando se aproxima de , se aproxima de

Portanto, o logaritmo se aproxima de

Agora chegou a hora de derivar:

Aqui derivamos o numerador e o denominador separadamente. Para o numerador usamos a regra da cadeia:

Ficamos com:

Usamos a regra da cadeia de novo, fazendo:

Então:

Derivando:

Substituindo as variáveis originais:

Arrumando

Agora temos a derivada do denominador:

Aplicando a regra de L'hospital ficamos com:

Passo 4

Recuperando lá do passo 2, ficamos com:

Calculando o limite do lado direito:

Podemos reescrever:

Calculando:

Portanto:

Prontinho!

Agora, vamos calcular

Esta expressão resulta em uma forma indeterminada de o que sugere que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada aqui.

Derivando o numerador e o denominador, obtemos:

Portanto, aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos:

Passo 5

Agora que temos os limites do logaritmo e do expoente, podemos calcular o limite original:

Portanto, o limite

É igual a 1.

Conseguimos resolver a expressão sem a necessidade de aplicar a regra de L'Hôpital, utilizando uma propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão antes de calcular o limite.