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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 84

Suponha que f seja uma função positiva. Se f x = 0     e g x = ∞   ,   mostre que

f x g x = 0  

Isso mostra que 0 ∞ não é uma forma indeterminada.

Passo 1

Temos uma potência indeterminada. Podemos tratar este caso aplicando o logaritmo natural:

S e j a   y = f x g x ,   e n t ã o     l n l n   y = g x l n l n   f x    

No limite, temos:

f x g x = l n l n   y = g x l n l n   f ( x )          

Passo 2

Aplicando a propriedade da multiplicação no limite, dada por:

f x × g x = f x × g x      

Podemos escrever:

g x l n l n   f x = g x × l n l n   f x          

Passo 3

Escrevendo as funções como exponenciais, temos:

e l n l n   y   = e g x × e l n l n   f x   ⇒ y = f x g x = e g x l n l n   f x           = f x g x  

Passo 4

Aplicando a propriedade do expoente no limite, que é dada por:

f x n = [ f ( x ) ] n    

Temos:

f x g x = [ f x ] g x    

Passo 5

Aplicando as informações dada no enunciado, concluímos que:

[ f x ] g x   = 0 ∞ = 0

Assim mostramos que:

f x g x = 0  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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