Encontre os limites.

9. underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 6 x + 5)/(x^2 - 3 x - 4)

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos -1 direto em x , chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 6 x + 5)/(x^2 - 3 x - 4) =

Aqui, uma opção é fazer a fatoração em termos mais simples das funções de 2° grau, ou mesmo resolver por bhaskara e determinar as raízes. Aqui vamos optar pelo primeiro caso:

underset(x -> - 1)(lim) (( x + 1 ) ( x + 5 ))/(( x - 4 ) ( x + 1 )) = underset(x -> - 1)(lim) (( x + 5 ))/(( x - 4 )) =

= (( - 1 + 5 ))/(( - 1 - 4 )) = - (4)/(5)

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) (x^2 + 6 x + 5)/(x^2 - 3 x - 4) = - (4)/(5)

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