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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 44

Encontre as linearizações L(x, y, z) das funções nos Exercícios 39-44 nos pontos determinados.

f x , y , z = t g - 1 ( x y z )

a ) ( 1 , 0,0 )

b )   1 , 1 , 0

c ) 1 , 1 , 1

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O processo de linearização se dá por uma formula dada por:

L x , y , z = f X 1 , Y 1 , Z 1 + f x X 1 , Y 1 , , Z 1 x - X 1 +   f y X 1 , Y 1 , Z 1 y - Y 1 + f z X 1 , Y 1 , Z 1 z - Z 1

No ponto:

P ( X 1 , Y 1 , Z 1 )

Dando nome aos bois,

f X 1 , Y 1 , Z 1 = f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P ( X 1 , Y 1 , Z 1 )

f x X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   x   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

f y X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   y   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

f z X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   z   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

Show, sabendo disso, vamos calcular a linearização da função no ponto dado.

f x , y , z = t g - 1 ( x y z )

a ) ( 1,0 , 0 )

Ou seja

L x , y , z = 0 + 0 x - 1 + 0 y - 0 + 0 ( z - 0 )

L 1 , 1 , 1 = 0

Passo 2

Para o item b), onde o ponto é:

P 1,1 , 0

Temos:

L x , y , z = 0 + 0 x - 1 + 0 y - 1 + 1 z - 0

L 1,1 , 0 = z

Para o item c), onde o ponto é:

P 1,1 , 1

Temos:

L x , y , z = 1 = π 4 + 1 2 x - 1 + 1 2 y - 1 + 1 2 z - 1

L 1,1 , 1 = 1 2 x + 1 2 y + 1 2 z + π 4 - 3 2

E isso meus queridos! Até a próxima!

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

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