Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.

f(x, y) = 4 * arctan(xy)

(1, 1)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de linearização, vamos lá!

A questão nos dá uma função e pede para provar que ela é diferenciável no ponto ( 1 ,   1 ) . Mas como provamos isso?

Para a função f ( x ,   y ) ser diferenciável em ( a ,   b ) ela precisa ter as derivadas parciais f x e f y contínuas nesse ponto! Além disso, as derivadas f x e f y nos pontos próximos de ( a ,   b ) também precisam existir!

E de brinde a questão também pede para encontrarmos a linearização (ou aproximação linear) L ( x ,   y ) da função nesse ponto.

Essa linearização L ( x ,   y ) da função no ponto ( a ,   b ) é dada pela seguinte fórmula:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Então nosso checklist será:

Encontrar as derivadas parciais f x e f y da função;

Provar que são contínuas em ( 1 ,   1 ) ;

Provar que existem para os pontos próximos de ( 1 ,   1 ) ;

E, por fim, montar nossa equação geral de L x ,   y .

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos a função f em x

De forma que:

f x = 4 arctan ⁡ x y

∂ f ∂ x = d ( 4 arctan ⁡ x y ) d x

Onde, utilizando a regra da cadeia, chegamos em:

∂ f ∂ x = 4 d arctan ⁡ u d u ⋅ d x y d x

f x = 4 y 1 + ( x y ) ²

Substituindo o ponto ( 1 ,   1 )

f x 1 ,   1 = 4 ⋅ 1 1 + ( 1 ⋅ 1 ) ²

f x 1 ,   1 = 2

E com isso concluímos que f x é contínua no ponto!

Além disso, f x existe para quaisquer valores de x e y !

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos a função f em y

De forma que:

f y = 4 arctan ⁡ x y

∂ f ∂ y = d ( 4 arctan ⁡ x y ) d y

Onde, utilizando a regra da cadeia, chegamos em:

∂ f ∂ y = 4 d arctan ⁡ u d u ⋅ d x y d y

f y = 4 x 1 + ( x y ) ²

Substituindo o ponto ( 1 ,   1 )

f y 1 ,   1 = 4 ⋅ 1 1 + ( 1 ⋅ 1 ) ²

f y 1 ,   1 = 2

E com isso concluímos que f y é contínua no ponto!

E da mesma forma que f x , f y também existe para quaisquer valores de x e y !

Cumpridas as condições, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 3

Agora precisamos montar a nossa equação L x ,   y ! Já temos quase todos os valores, só precisamos calcular f ( 1 ,   1 )

De forma que:

f 1 ,   1 = 4 arctan ⁡ ( 1 ) = π

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = π + 2 x - 1 + 2 y - 1

L x ,   y = 2 x + 2 y + π - 4

Resposta

L x ,   y = 2 x + 2 y + π - 4

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