Encontre os números críticos da função.

g(t) = raiz(t) * (1 - t)

Passo 1

Oi meus queridões, tudo bem?

Nessa questão temos a seguinte função:

g t = t ( 1 - t )

E queremos encontrar os números críticos da função.

Vamos começar entendendo o que vem a ser esse tal de “número crítico”.

Um número crítico é nada mais, nada menos que um número c onde sua derivada é igual a zero

g ' c = 0

ou g ' ( c ) não existe

g ' c   ∄

Certinho??

Passo 2

Organizando a função, temos:

g t = t ( 1 - t )

g t = t - t t

Transformando essas raízes em expoentes, temos:

g t = t 1 2 - t ⋅ t 1 2

g t = t 1 2 - t 3 2

Derivando, aplicando a regra da potência, temos:

g ' t = 1 2 t - 1 2 - 3 2 t 1 2

Agora, transformando os expoentes em raízes, temos:

g ' t = 1 2 t - 3 2 t

Percebemos que quando t = 0 , g ' 0 não existe, pois teríamos uma divisão por zero, logo, temos aí um número crítico.

t = 0

Passo 3

Vamos procurar agora por pontos onde a derivada zera.

Reorganizando, podemos ter

0 = 1 2 t - 3 2 t

Resolvendo o MMC:

0 = 1 - 3 t ⋅ t 2 t

0 = 1 - 3 t 2 t

Para que essa igualdade seja verdadeira, é preciso que:

1 - 3 t = 0

Portanto,

t = 1 3

Portanto, temos outro número crítico!!

Prontinho!!

Resposta

t = 0       e       t = 1 3

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