Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 25
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos de .
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é encontrar os valore de máximos e mínimos dessa função dentro do intervalo
Tem ideia de como fazemos isso?
Quando temos que determinar os pontos de máximos e mínimos de uma função em um intervalo contínuo e fechado temos que seguir um scriptzinho...
Primeiro obtemos os pontos críticos da função, pra isso derivamos a função e igualamos a . Assim, os valores de que satisfazem a igualdade será nossos pontos críticos.
Depois de obter os pontos críticos da função, excluímos os pontos que estiverem fora do intervalo da nossa análise e substituímos os pontos na função para comparar os valores das imagens e ver qual é o maior e o menor.
E por último, substituímos os limites do intervalo na função para comparar com as imagens dos pontos críticos...
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Vamos começar derivando a função pelo Teorema Fundamental do Cálculo...
Igualando a derivada a , podemos obter seus pontos críticos
resulta em um conjunto de valores para , mas olhando para o nosso intervalo de análise, temos que
Portanto temos quatro pontos críticos em .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos substituir os pontos críticos que encontramos em ...
Para
Para
Para
E para
Portanto vemos que por enquanto temos dois mínimos e dois máximos...
Bora continuar!
Passo 4
Por último, temos que analisar os limites do intervalo da nossa análise.
Para
E para
Logo, juntando tudo que encontramos até aqui, vemos que e são os pontos de máximos locais e absolutos e e são os pontos mínimos locais e absolutos.
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
e são os pontos de máximos locais e absolutos e e são os pontos mínimos locais e absolutos.