Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 22
(a) Encontre os números críticos de .
(b) O que o Teste da Segunda derivada mostra para você sobre o comportamento de nesses números críticos?
(c) O que mostra o Teste da Primeira derivada?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente responder algumas coisinhas sobre ela.
No item (a) temos que encontrar os números críticos que são os valores de que fazem a deivada da função zerar. Isso porque nesses pontos a inclinação da reta tangente ao gráfico da função é igual a zero.
No item (b) temos que usar o teste da derivada segunda pra mostrar o comportamento de nesses números críticos. E para isso precisamos saber que a derivada segunda ajuda a gente a classificar os pontos críticos de acordo com a concavidade da função na região. Veja:
E no item (c), temos que dizer o que o Teste da Primeira derivada pode nos mostrar. Assim, lembraremos que a primeira derivada indica a inclinação da reta tangente ao gráfico, assim saberemos se ele é crescente ou decrescente de acordo com seu sinal.
Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver tudo isso acontecendo no passo a passo.
Passo 2
Item a:
Os números críticos são aqueles cuja derivada é nula, portanto, vamos obter a derivada da função:
Como ela é formada pela multiplicação de duas outras funções, usaremos a regra do produto. Assim:
E colocando em evidência, ficamos com:
Ou melhor:
Então, os pontos críticos:
Como temos um produto dando zero, podemos analisar a condição de cada um dos fatores. Veja:
Se
Ou se
Ou se
Logo, os pontos críticos são , , e .
Passo 3
Item b:
Vamos obter primeiramente a derivada segunda. Como já temos a derivada primeira, basta derivada novamente. Assim,
E novamente usando a regra do produto, teremos:
Agora vamos analisar o que acontece com essa derivada de segunda ordem em cada um dos pontos críticos.
-Para , teremos
Nada podemos afirmar.
-Para , teremos
O ponto é mínimo local pois
-Para , ficamos com:
Nada podemos afirmar.
Passo 4
Item c:
Estudando o sinal dessa função, temos a seguinte tabela:
Então se o sinal da derivada indica o decrescimento e crescimento da função.
Temos que:
cresce ate e decresce após ele, é máximo local
decresce até e cresce após ele, é mínimo local.
Quanto ao ponto não é máximo nem mínimo pois é crescente antes e depois dele.
E prontinho. Todas as análises feitas com sucesso!
Resposta
(a) Os pontos críticos são , , e .
(b) O ponto é mínimo local.
(c) é máximo local e é mínimo local.