Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 23
Suponha que seja contínua em .
(a) Se e , o que se pode afirmar sobre ?
(b) Se e , o que se pode afirmar sobre ?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão disse pra gente que , e pediu pra respondermos a dois itens, sendo eles:
O item (a), onde e , e queremos saber o que se pode afirmar sobre .
Perceba que aqui estamos falando da derivada primeira da função. Ela diz pra gente sobre a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim:
E a derivada segunda fala sobre a concavidade do gráfico. Assim:
Já no item (b), temos e , e também queremos saber o que se pode afirmar sobre .
Nesse caso temos a primeira derivada, mas a informação da segunda derivada não nos ajuda muito.
Vamos analisar tudo com calmas nos passo abaixo.
Passo 2
Item a:
Se
e
Então podemos afirmar que tem máximo local em .
Explicação:
Afinal, nos fornece o comportamento de (de)crescimento dependendo do sinal. Sendo zero em , temos em um ponto de mudança de comportamento.
Como nos diz qual a concavidade dependendo do seu sinal, e sabemos que em ela é negativa, sabemos que a concavidade é pra baixo, caracterizando como um ponto de máximo local.
Passo 3
Item b:
Se
Então podemos afirmar que possui reta tangente horizontal é .
O fato de ser uma verdade não nos fornece nenhuma nova informação sobre .
Explicação:
A igualdade nos permite somente afirmar que possui reta tangente horizontal em .
Como nos dá informações sobre a concavidade de dependendo do seu sinal, saber quando ela tem tem tangente horizontal não nos fornece nenhum dado sobre o sinal de nesse ponto.
Resposta
(a) tem máximo local em .
(b) possui reta tangente horizontal é .