Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 19
Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.
Passo 1
Para verificar se há valores extremos absolutos dessa função dada, podemos aplicar o Teorema 2 e, portanto, aplicar a primeira derivada à função e igualar o resultado a zero. Fazendo isso, temos:
Tal que:
Passo 2
Analisando o primeiro ponto , temos que é positivo para e é negativo para e, logo, o ponto é um máximo local.
Já para o segundo ponto , temos que é negativo para e é positivo para e, logo, o ponto é um mínimo local.
Passo 3
Fazendo o esboço do gráfico, podemos acrescentar ainda que o ponto é um máximo absoluto e o ponto é um mínimo absoluto. Isso se deve ao fato de que o valor da função em é o maior possível dentro do intervalo dado e o valor da função em é o menor possível dentro do intervalo dado.
Resposta
As condições do Teorema 1 não são atendidas visto que a função está definida em um intervalo aberto. No entanto, o fato das condições do Teorema 1 não serem satisfeitas faz com que haja a possibilidade de que existam ou não valores extremos absolutos. Neste caso, com a primeira derivada foi possível encontrar valores de máximo e mínimo locais e, com auxílio do gráfico, pudemos complementar que esses valores eram o máximo absoluto e o mínimo absoluto, respectivamente.