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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 20

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Calota parabólica - A porção do paraboloide z = - x 2 + y 2 2 acima do plano z = - 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para parametrizar a porção do parabolóide, usaremos coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

A equação do paraboloide é dada por

z = - x 2 + y 2 2

O que indica na parametrização que

z = - r 2 2

Passo 2

Como observamos a porção do paraboloide acima do plano z = - 2

- 2 = - r 2 2

Com isso, nós temos que

r 2 = 4

Com intervalo dado em

0 ≤ r ≤ 2

Finalmente, nós obtemos o seguinte resultado

r θ , r = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j - r 2 2 k

Onde

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Resposta

r θ , r = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j - r 2 2 k

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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