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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 31

Quais dos campos nos Exercícios 29-32 são conservativos e quais não são?

31. F = x e y i + y e z j + z e x k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O objetivo desta tarefa é explicar se determinado campo

F = x e y i + y e z j + z e x k

É conservador ou não. Lembre-se de que se F é um campo vetorial conexo em um domínio, tal que

F = M x , y , z i + N x , y , z j + P x , y , z k

Tem primeiras derivadas parciais contínuas, então F é um campo vetorial conservativo se e somente se

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ P ∂ x = ∂ M ∂ z , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

Temos o campo vetorial

F x , y , z = x e y i + y e z j + z e x k

Se M = x e y ,     N = y e z e P = z e x , portanto

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y z e x = 0   e ∂ N ∂ z = ∂ ∂ z y e z = y e z  

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x z e x = z e x   e ∂ M ∂ z = ∂ ∂ z x e y = 0

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x y e z = 0   e ∂ M ∂ y = ∂ ∂ y x e y = x e y

Portanto, desde que ∂ P ∂ y ≠ ∂ N ∂ z , ∂ P ∂ x ≠ ∂ M ∂ z , ∂ N ∂ x ≠ ∂ M ∂ y   , F não é um vetor conservativo!

Resposta

Respondido acima!!!

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