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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 28

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Integral de superfície - Calcule a integral ∬ x 2 + y 2 + 1   d σ , onde S é o helicoide no Exercício 27

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja r u , v = f u , v i + g u , v j + h u , v k uma superfície parametrizada e seja G ( x , y , z ) uma função contínua sobre S . Então a integral de superfície de G ( x , y , z ) sobre a superfície S é dada por:

∬ G x , y , z   d σ = ∬ G f u , v , g u , v , h u , v r u × r v   d u   d v

A seguinte superfície parametrizada no espaço é dada:

r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + θ k ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 1

A função que temos que integrar é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + 1

Para encontrar a área, primeiro vamos encontrar r r   e r θ

r r = cos ⁡ θ i + sin ⁡ θ j

r θ = - r sen ⁡ θ i + r cos ⁡ θ j + k

Agora, fazendo o produto vetorial

r r × r θ = i j k cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 1 = i sen ⁡ θ - 0 - j cos ⁡ θ - 0 + k cos 2 ⁡ θ + r sen 2 ⁡ θ

Com isso,

r r × r θ = sen ⁡ θ i - cos ⁡ θ j + r k

E para o módulo

r r × r θ = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + r 2 = 1 + r 2

Passo 2

Com isso,

∬ f x , y , z   d σ = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π 1 + r 2 ∙ r 2 + 1   d θ   d r

Desenvolvendo os termos

∬ f x , y , z   d σ = ∫ 0 1 1 + r 2   θ 0 2 π   d r = 2 π ∫ 0 1 1 + r 2   d r

Essa integral tem como resultado

∬ f x , y , z   d σ = 2 π r + r 3 3 0 1 = 2 π 1 + 1 3 = 8 π 3

Resposta

8 π 3

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