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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 15

Área de um triângulo - Encontre a área do triângulo no qual o plano x a + y b + z c = 1     ( a , b , c > 0 ) apresenta interseção com o primeiro octante. Verifique sua resposta com um cálculo vetorial apropriado

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Neste caso podemos usar a parametrização

r x , y = x i + y j + c 1 - x a - y b k

Onde 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b 1 - b a , então as derivadas parciais da função paramétrica em relação aos seus parâmetros são:

r x = i - c a k   e   r y = j - c b k

O produto vetorial entre esses vetores é

r x × r y = i j k 1 0 - c a 0 1 - c b = c a i + c b j + k

E a norma é dada por

r x × r y = 1 a b c 2 b 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2

Passo 2

Com isso, a área da superfície é igual a

A = ∫ 0 a ∫ 0 1 - x a b a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 a b   d y d x

Tirando as constantes para fora da integral

A = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 a ∫ 0 a 1 - x a d x

Resolvendo a integral

A = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 a x - x 2 2 a 0 a = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 a a - a 2 2 a

Portanto,

A = 1 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 1 2

Passo 3

Para verificar esse resultado, podemos usar cálculos vetoriais. Como sabemos, a área do triângulo delimitado por dois vetores u , v é dada por

A = 1 2 u × v

Na figura, você pode observar que a porção do plano no primeiro octante é um triângulo. Aí, podemos apreciar dois vetores que delimitam essa região do triângulo

u = - a i + b j   e   v = - a i + c k

O produto vetorial entre esses vetores é dado por

u × v = i j k - a b 0 - a 0 c = b c i + a c j + a b k

E a norma é igual a

u × v = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2

Nós então temos que a área do triângulo é dada por

1 2 u × v = 1 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2

Resposta

1 2 u × v = 1 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2

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