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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 25

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Área de superfície - Encontre a área da superfície

r u , v = u + v i + u - v j + v k

0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, temos que a área de uma superfície parametrizada r u , v = f u , v i + g u , v j + h u , v k com intervalos a ≤ u ≤ b ,     c ≤ v ≤ d pode ser escrita da seguinte forma:

A = ∬ r u × r v   d A = ∫ a b ∫ c d r u × r v   d v   d u

A seguinte superfície parametrizada no espaço é dada:

r u , v = u + v i + u - v j + v k ,     0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1

Para encontrar a área, primeiro vamos encontrar r u e r v

r u = i + j

r v = i - j + k

Agora, fazendo o produto vetorial dos termos

r u × r v = i j k 1 1 0 1 - 1 1 = i 1 - 0 - j 1 - 0 + k - 1 - 1 = i + j - 2 k

E a norma

r u × r v = 1 2 + 1 2 + - 2 2 = 6

Agora a área da superfície é igual a:

A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 6   d v   d u = 6 ∫ 0 1 d u

Que tem como resultado

A = 6   u 0 1 = 6

Resposta

A = 6

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