Exercícios de Parametrização de Curvas - Lista de Exercícios Resolvida

Parametrize a curva dada pela interseção das superfícies

Seja a superfície de equação . Encontre uma parametrização para a intersecção de com o plano .

Encontre a parametrização da curva dada equação

Respeitando a inequação

Parametrize a curva dada pela interseção do cilindro com o plano

Parametrize a curva , fronteira do triângulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.

Dica: Aqui é preciso parametrizar cada um dos lados do triângulo de forma independente, afinal, cada um deles é um segmento de uma reta diferente.

Considere a curva parametrizada por , . O comprimento de arco entre os pontos e é igual a

(a)

(b)

(c) Nenhuma das opções

(d)

(e)

Determine o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula ao longo da elipse , no ponto , orientada no sentido anti-horário.

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

e)

1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

f)

Parametrize a curva obtida pela interseção do cilindro com o paraboloide hiperbólico .

1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:

1. e , , situada no primeiro octante.

1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:

1. , e

1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:

1. e .

1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:

1. situada no primeiro octante.

Seja o campo vetorial . Seja a curva como a interseção do cilindro e o plano , orientada no sentido horário.

1. Represente a integral de linha do campo vetorial sobre a curva através de uma integral simples definida.
2. Determine o valor do campo vetorial sobre a curva .

Seja a curva parametrizada , .

1. Qual a distância, menor possível, do ponto da curva para ao ponto da curva para ?
2. Considere uma partícula de massa desprezível que percorre a curva . Qual seria a distância percorrida sobre a curva para a partícula ir do instante até o instante ?

Questão 4. Seja a superfície dada pela parte da esfera , calota esférica, que está acima do plano . Considere a função definida em uma região de que contém .

(a) Parametrize a superfície

Questão 5. Ache uma representação de parametrização das superfícies abaixo.

(a) A metade inferior do elipsoide ;

Considere a curva parametrizada plana

(espiral logarítmica). Observe que em coordenadas polares esta curva e descrita por

Esta curva possui auto interseções, isto é, parâmetros tais que ? Justifique sua resposta.

Mostre que o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade é constante e calcule este ângulo.

Calcule a integral de linha , onde consiste na metade superior da circunferência de a e no segmento de reta de a

Seja .

1. Calcule a integral de linha em que é a curva

Considerando a superfície dada pela porção do cone limitada pelos planos e .a) Parametrize usando coordenadas polares.

Calcule a integral de superfície onde e é a parte do paraboloide abaixo do plano com orientação ascendente (orientada para fora da superfície).

1. Esboce a imagem da curva , indicando o seu sentido de percurso, sendo:

b) , .

1. Esboce a imagem da curva , indicando o seu sentido de percurso, sendo:

d) , .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

a) A reta que passa pelos pontos e .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

b) a curva de equação .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

c) a curva de equação .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

d) a curva de equação ; .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

e) a curva no espaço de equação ; .

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

f) a curva no espaço de equação ; .

Calcule a integral de linha , C é o retângulo com vértices (0, 0) , (3, 0) , (3, 1) e (0, 1) por dois métodos:

1. diretamente;

27. Seja a parte do plano limitada pelo cilindro . Uma parametrização da superfície é

a) , , com e .

b) , , , com e .

c) , , com e .

d) , , com e

Calcule

ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:

1. ao longo da elipse

Calcule

ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:

1. triângulo de vértices

Calcule

do ponto , ao longo dos caminhos:

(a) segmento de reta;

Calcule o comprimento da curva

Calcule o comprimento da curva

(a) Determine a massa de um arame cujo formato é o da curva

e a densidade de massa em cada ponto é .

Determine a massa e o centro de massa de um arame cujo formato é o da curva

e a densidade de massa em cada ponto é .

1. Esboce a imagem da curva , indicando o seu sentido de percurso, sendo:

c) , .

Considere a reta no espaço parametrizada pela função vetorial , . Qual das seguintes equações descreve um plano que não intersecta a reta acima?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Nenhuma das opções

(a) Identifique e faça um esboço da superfície no espaço dada por .

(b) Parametrize a curva em que é interseção das superfícies e do paraboloide hiperbólico dado por .

(c) Encontre o comprimento da curva da origem até o ponto .

1. Esboce a imagem da curva , indicando o seu sentido de percurso, sendo:

a) , .

Calcule

ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados positivamente:

1. circunferência de centro na origem e raio 2;

Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos caminhos:

b) interseção das superfícies e .

Calcule , onde:

a) e é a interseção de e , percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem.

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(g) ; é o triangulo de vértices , e .

3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(j) ; ao longo da curva , , .

Calcule , em que é o arco de do ponto ao ponto .

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

a)

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

b)

Calcule as seguintes integrais triplas:

a)

Em que é a região delimitada pelos planos coordenados e .

Calcule as seguintes integrais triplas:

b)

Em que é a região delimitada por , e .

Determine o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula ao longo do segmento de reta que une o ponto ao ponto .

Calcule , em que é o retângulo formado por .