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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 37

Encontrando o trabalho de duas formas - Encontre o trabalho realizado por

F = x i + y j x 2 + y 2 3 / 2

sobre a curva plana r t = e t cos ⁡ t i + ( e t sen ⁡ t ) j entre o ponto ( 1,0 ) e o ponto ( e 2 π ,   0 ) de duas formas:

a. Utilizando a parametrização da curva para calcular a integral de trabalho.

b. Calculando uma função potencial para F .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - O trabalho realizado pela força é:

W = ∫ F ∙ d r

Nesse caso, temos que

F r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t 3 2 = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j e 2 t 3 2

Simplificando os termos

F r t = e - 2 t ( cos ⁡ t i + sen ⁡ t j )

Por outro lado, temos que

d r = d r d t d t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t i + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t   d t

Logo,

d r = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t i + sen ⁡ t + cos ⁡ t j   d t

Portanto, o produto escalar no argumento da integral é

F ∙ d r = e - t cos ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t + sen ⁡ t sen ⁡ t + cos ⁡ t   d t

Desenvolvendo os termos

F ∙ d r = e - t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t   d t = e - t   d t

Passo 2

Podemos notar que na curva

x 2 + y 2 = e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t = e 2 t

Com isso,

e 2 t = x 2 + y 2 → 2 t = ln ⁡ x 2 + y 2 → t = ln ⁡ x 2 + y 2

Então, temos que no ponto ( 1,0 )

t = ln ⁡ 1 2 + 0 2 = ln ⁡ 1 = 0

E no ponto ( e 2 π , 0 )

t = ln ⁡ e 2 π 2 + 0 2 = ln ⁡ e 2 π = 2 π

Portanto, a integral de linha é igual a

W = ∫ 0 2 π e - t   d t = - e - t 0 2 π

Logo,

W = - e - 2 π + e 0 = 1 - 1 e 2 π = e 2 π - 1 e 2 π

Passo 3

B – Se F   é um campo gradiente, então F = ∇ f , com isso,

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 3 2     ( 1 )

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 3 2     ( 2 )

Da equação (1), nós temos que

f x , y = ∫ x x 2 + y 2 3 2   d x = 1 2 ∫ 2 x x 2 + y 2 3 2 d x

Vamos fazer a seguinte manipulação

f x , y = 1 2 ∫ d x 2 + y 2 x 2 + y 2 3 2 = 1 2 ∫ x 2 + y 2 - 3 2 d x 2 + y 2

Com isso, nós temos que

f x , y = - 1 x 2 + y 2 + C ( y )

Onde C ( y ) não depende de x . Usando este resultado na equação (2) há resultado

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 3 / 2 → ∂ ∂ y - 1 x 2 + y 2 + C y = y x 2 + y 2 3 / 2

Temos que

- y x 2 + y 2 3 2 + d C d y = y x 2 + y 2 3 2

Portanto, nós obtemos o seguinte resultado

d C d y = 0 → C   é   u m a   c o n s t a n t e

Para C = 0 , nós temos que

F = ∇ - 1 x 2 + y 2

E o trabalho realizado pela força é

W = ∫ F ∙ d r = ∫ ∇ f ∙ d r = ∫ d f

Desenvolvendo os termos

W = f e 2 π , 0 - f 1,0 = - 1 e 4 π + 0 2 + 1 1 2 + 0 2

Um pouco mais

W = 1 - 1 e 2 π = e 2 π - 1 e 2 π

Este resultado está de acordo com o resultado obtido na parte a).

Resposta

W = e 2 π - 1 e 2 π   ( n o s   d o i s   c a s o s )

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Integre F = - y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + ( x y cos ⁡ z ) k ao redor da circunferência cortada da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 pelo plano z = - 1 , no sentido horário quando visto de cima.
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