Encontre os pontos na curva y = tg x , -pi/2 < x < pi/2 , em que a normal seja paralela à reta y = -x / 2 . Esboce a curva e as normais juntas, identificando cada uma com sua respectiva equação.

Passo 1

A primeira derivada de uma função em determinado ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto, portanto para resolver a questão precisaremos achar a primeira derivada da curva dada. Usaremos que o produto dos coeficientes angulares entre duas retas normais é igual a -1. Em seguida usaremos que os coeficientes angulares de duas retas paralelas é igual e que a na equação da reta y = a x + b expressa o valor do coeficiente angular.

Passo 2

y = t g x

y ' = s e c ² x

m 1 . m 2 = - 1

m 1 = - 1 s e c 2 x

m 1 = - c o s ² x

Agora usamos que os coeficientes angulares de duas retas paralelas são iguais e que a na equação da reta y = a x + b expressa o valor do coeficiente angular.

Portanto:

- c o s 2 x = - 1 2

c o s x = ± 1 2

c o s x = ± 2 2

x = k π ± π 4

Como - π / 2 < x < π / 2 , os valores de x são x = ± π 4

Passo 3

Para determinar os valores de y , substituímos os valores de x obtidos na equação original:

y = t g ( ± π 4 )

y = ± 1

Falta agora apenas esboçar o gráfico, usando a = - 1 2 e fazendo as retas cruzarem o gráfico nos pontos obtidos.

Resposta

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