Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 61
Encontre os pontos nas curvas dadas onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
61.
Passo 1
Oie, vou resolver essa atividade junto com você hoje.
Aqui a gente tem a curva parametrizada:
E queremos encontrar em quais pontos a reta tangente a essa curva é horizontal ou vertical.
Bom, para fazermos isso, vamos primeiro usar as coordenadas cartesianas e as relações para coordenadas polares:
Depois disso, iremos derivar tanto quanto em relação a , pois para encontrarmos a reta tangente horizontal, teremos que:
E para vertical:
Passo 2
Substituindo a função que foi dada de :
Agora basta derivarmos cada uma das coordenadas em relação a e igualarmos a zero, assim encontramos as retas tangentes horizontais para o caso de e verticais para o caso de :
Usando a relação:
Ficamos com:
Fazendo o arco de seno resulta:
Agora basta substituir esses resultados na equação dada no enunciado para encontrarmos o correspondente:
As coordenadas polares para os pontos de interseção das retas tangentes verticais vão ser:
Passo 3
Repetindo o mesmo processo pra , fazemos a derivada e igualamos a zero:
Fazendo fator comum:
Aplicando a propriedade trigonométrica:
Ficamos com:
Aplicando o arco seno:
E substituindo esses valores na função de a gente vai ter:
As coordenadas dos pontos em que a reta tangente é horizontal são: