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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 74

Uma vaca é amarrada a um silo com raio r por uma corda comprida o suficiente para alcançar apenas o outro lado do silo. Calcule a área disponível para a vaca pastar.

Passo 1

Queremos calcular a área que a vaca pode pastar. Para isso, podemos pensar que o nosso raio r disponível é uma função do ângulo, r = π R - R θ , onde θ é o ângulo feito pela normal à tangente da corda com a horizontal.

Então a área disponível para pastar será igual à área dos semicírculos com raio π r mais a área das 2 figuras cujo raio fica mudando.

Vamos encontrar primeiramente a área das 2 figuras:

A = 2 ∫ 0 π ∫ 0 R ( π - θ ) r d r d θ

= 2 ∫ 0 π r 2 2 0 R ( π - θ ) d θ    

= 2 ∫ 0 π R 2 π - θ 2 2 d θ    

= R 2 ∫ 0 π π - θ 2 d θ    

= R 2 π - θ 3 3 0 π

= π 3 R 2 3

Passo 2

Certo, agora vamos encontrar a área do semicírculo, A = π r 2 2 , onde r = π R

=   π .   π 2 R 2 2

= π 3 R 2 2

Nossa área total é a soma dessas duas:

π 3 R 2 2 +   π 3 R 2 3 = 5 π 3 R 2 6

Resposta

A = 5 π 3 R 2 6  

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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.24. r = 1 - s e n θ , r = 1
Encontre a área da região que está dentro das duas curvas:r = 3 s e n θ , r = 3 c o s θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.27. r = 3 c o s θ , r = 1 + c o s θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.25. r 2 = 8 c o s 2 θ , r = 2
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = 3 + 2s e nθ , r = 2