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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 47

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

h ( x ) = x 2 + 1

Passo 1

Nosso problema pede pra que a gente encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

h ( x ) = x 2 + 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

h ( x ) = x 2 + 1 = x 2 + 1 1 2

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia:

d h d x = d h d u d u d x  

Onde:

u = x 2 + 1

h u = u 1 2

Para derivar esses carinha temos que usar a regra do polinômio e da constante:

x n ' = n x n - 1 e c ' = 0

Assim:

d u d x = 2 x

Temos também:

h u = u 1 2

Usando a regra do polinômio:

d h d u = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u

Finalmente podemos substituir:

d h d x = 1 2 u 2 x = x x 2 + 1  

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada:

h ' ' x = x x 2 + 1 - 1 2 '

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = x 2 + 1 - 1 2

Passo 4

Com f ' ( x ) é é simples, usamos a regra do polinômio:

f ' x = x ' = x 1 - 1 = 1

Passo 5

Usamos a regra do polinômio, da função constante e da cadeia pra calcular g ' x :

x n ' = n x n - 1 e c ' = 0

Assim:

g ' x = x 2 + 1 - 1 2 ' = - 1 2 x 2 + 1 - 1 2 - 1 . x 2 + 1 '

= - 1 2 x 2 + 1 - 3 2 2 x 2 - 1 + 0

= - 1 2 x 2 + 1 - 3 2 2 x

g ' ( x ) = - x x 2 + 1 - 3 2

Passo 6

Agora é só substituir na expressão:

h ' ' x = x x 2 + 1 - 1 2 ' '

= f ' x g x + g ' x f x

= 1 . x 2 + 1 - 1 2 + - x x 2 + 1 - 3 2 . x

h ' ' x = 1 x 2 + 1 - x ² x 2 + 1 3 2

Resposta

h x ' = x x 2 + 1

h ' ' x = 1 x 2 + 1 - x ² x 2 + 1 3 2

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