Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 48
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você?
Bom, essa questão deu pra gente a função
E pediu pra gente encontrar a primeira e a segunda derivadas dela.
Ou seja, precisaremos derivar a função pela primeira vez, e depois derivar novamente a função que acabamos de encontrar na primeira derivação.
Mas reparamos o seguinte: nossa função é formada por uma multiplicação entre duas funções. Veja:
Pode ser entendida com
E
Ou seja,
Assim, para encontrar a primeira derivada precisamos usar a regra do produto:
Vamos fazer tudo isso juntinho. Beleza?
Passo 2
Vamos começar o cálculo da primeira derivada da nossa função usando a regra do produto.
Ou seja, vamos precisar das derivadas de e de
Sendo
Sua derivada será calculada usando a regra do expoente:
Assim:
Show.
Também precisamos de
Já para calcular vamos usar a regra da função exponencial e da multiplicação por constante que diz o seguinte:
Assim temos:
E derivando teremos:
E finalmente
Agora já temos tudo que precisávamos para calcular a primeira derivada de . Vamos à ela.
Passo 3
Sendo:
Agora é só substituir na expressão:
E organizando, ficamos com:
Maravilha. A primeira já foi. Agora vamos para a segunda derivada.
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada e precisamos derivar o resultado que encontramos na primeira. Assim:
E como se trata de uma função formada por dois termos, podemos separar as derivadas ficando com:
Perceba que cada termo que iremos derivar já foi calculado anteriormente, então podemos repetir os resultados que temos. Assim, vamos lembrar que
E
Agora, basta substituir tudo em nossa segunda derivada.
Passo 5
Substituindo na expressão:
Reduzindo os termos semelhante, teremos:
E prontinho, segunda derivada calculada também!!!