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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5o

Calcule a derivada segunda.

y = x e^(- 2 x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função exponencial, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = e^(- 2 x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (x e^(- 2 x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' (e^(- 2 x)) + (e^(- 2 x))^' (x) = (x^(1 - 1)) (e^(- 2 x)) + e^(- 2 x) (- 2 x)^' (x) = (x^0) (e^(- 2 x)) + x e^(- 2 x) (- 2 x^(1 - 1)) = (1) (e^(- 2 x)) + x e^(- 2 x) (- 2 x^0) = e^(- 2 x) - 2 x e^(- 2 x) = e^(- 2 x) (1 - 2 x)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(- 2 x)

e

g (x) = (1 - 2 x)

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = (e^(- 2 x) (1 - 2 x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^(- 2 x))^' (1 - 2 x) + (1 - 2 x)^' (e^(- 2 x)) = e^(- 2 x) (- 2 x)^' (1 - 2 x) + (0 - 2 x^(1 - 1)) (e^(- 2 x)) = e^(- 2 x) (- 2 x^(1 - 1)) (1 - 2 x) + (- 2 x^0) (e^(- 2 x)) = e^(- 2 x) (- 2 x^0) (1 - 2 x) + (- 2 * 1) (e^(- 2 x)) = e^(- 2 x) (- 2 * 1) (1 - 2 x) - 2 e^(- 2 x) = - 2 e^(- 2 x) (1 - 2 x) - 2 e^(- 2 x) = - 2 e^(- 2 x) + 4 x 2 e^(- 2 x) - 2 e^(- 2 x) = - 4 e^(- 2 x) + 4 x 2 e^(- 2 x)

Resposta

y^(' ') = - 4 e^(- 2 x) + 4 x 2 e^(- 2 x)

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