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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5a

Calcule a derivada segunda.

y = sen 5 t

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função trigonométrica. Então nesse caso vamos usar a regra da cadeia para resolver essa derivada. Lembra que,

[f (g (t))]^' = f^' g (t) . g^' (t)

Aplicando para nossa questão temos que,

y = f (g (t))

f (t) = sen (g (t))

g (t) = 5 t

Agora estamos prontos para derivar!

Passo 2

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

(sen t)^' = cos t

(t^n)^' = n t^(n - 1) -> (5 t)^' = 5

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = f^' g (t) . g^' (t)

y^' = cos (5 t) . 5

Vamos passar esse 5 para frente para ficar mais bonitinho!

y^' = 5 cos (5 t)

Agora vamos para segunda derivada!

Passo 3

Temos novamente um polinômio dentro de uma função trigonométrica. Então vamos aplicar a regra da cadeia de novo:

(cos t)^' = - sen t

(t^n)^' = n t^(n - 1) -> (5 t)^' = 5

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' ' = f ' ' g (t) . g^' (t)

y ' ' = - 5 sen (5 t) . 5

y^(' ') = - 25 sen 5 t

Pronto!

Resposta

y^(' ') = - 25 sen 5 t

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