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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4p

Derive.

y = x ln (2 x + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = ln (2 x + 1)

(x ln (2 x + 1))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' * (ln (2 x + 1)) + (ln (2 x + 1))^' * (x)

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calcular f^' (x) vamos usar a regra do polinômio:

f ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com g ' ( x ) usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

g^' (x) = (ln (2 x + 1))^' = (1)/(2 x + 1) * (2 x + 1)^' = (1)/(2 x + 1) * (2 x^(1 - 1) + 0) = (1)/(2 x + 1) * (2 x^0) = (1)/(2 x + 1) * (2 * 1) = (2)/(2 x + 1)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (x ln (2 x + 1))^' = 1 * (ln (2 x + 1)) + (2)/(2 x + 1) * (x) = ln (2 x + 1) + (2 x)/(2 x + 1)

Resposta

y ' = ln (2 x + 1) + (2 x)/(2 x + 1)

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