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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 3

Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = 1 2 + 3 4 x 2 - 4 5 x 3

Passo 1

Fala aí! Como vai? 😉

Nesse problema temos que achar a função primitiva/integral de...

f x = 1 2 + 3 4 x 2 - 4 5 x 3

Pra isso, vamos usar algumas fórmulas de integração:

Se temos x n n ≠ - 1 então sua primitiva é da forma

f x = x n → F x = x n + 1 n + 1

Se temos n então sua primitiva é n x .

E se temos c f x então sua primitiva é da forma c F x .

Veja só! 😬

Passo 2

Vamos agora aplicar para achar a primitiva de f x :

F x = 1 2 x + 3 4 ∙ x 2 + 1 2 + 1 - 4 5 ∙ x 3 + 1 3 + 1 + C

F x = 1 2 x + 3 4 ∙ x 3 3 - 4 5 ∙ x 4 4 + C

F x = 1 2 x + x 3 4 - x 4 5 + C

Lembre-se de sempre adicionar a constante C no final.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos checar derivando F x :

F ' x = 1 2 x + x 3 4 - x 4 5 + C '

Usando a regra da derivada do polinômio:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

E a derivada de uma constante é sempre zero.

F ' x = 1 2 x 1 - 1 + 3 ∙ x 3 - 1 4 - 4 ∙ x 4 - 1 5 + 0

F ' x = 1 2 + 3 4 x 2 - 4 5 x 3

Como chegamos na mesma função, provamos que nossa integral está certinha!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

F x = 1 2 x + x 3 4 - x 4 5 + C

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