Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 23
Encontre .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão juntos?
O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede pra gente encontrar quem é essa função
Uma boa ideia para resolver essa questão é responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva, né? Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
🚨 Mas muita atenção, somando uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer.
Para encontrar a função , vamos ter que obter as duas primitivas abaixo:
- A primitiva de ou seja, é tal que
- A primitiva de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca s�� como:
- Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Bora encontrar as primitivas e ? 💪
Passo 2
Primeiramente, vamos encontrar a primitiva de
Para isso, usamos a Regra da Potência em cada um dos seus termos, ficando com
onde é uma constante qualquer (não podemos esquecer dela, né?).
Simplificando, temos que a primitiva de é dada por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primitiva de
Usando novamente a Regra da Potência, temos que
onde novamente não podemos esquecer da constante , beleza?
Simplificando, temos que a função procurada é dada por:
Passo 4
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a função encontrada duas vezes, e confirmar se a segunda derivada é a mesma dada no enunciado.
Temos que a primeira derivada é
E a segunda derivada é
assim como no enunciado! 😊
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.