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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 22

Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f ( x ) = 2 + x 2 1 + x 2

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Bom, galera... nessa questão estamos interessados em encontrar a primitiva da função f . Para isso, iremos utilizar a seguinte tabela de primitivação presente na seção 4.9 .

Veja só! 😊

Passo 2

Primeiramente, iremos desmembrar os termos da nossa função f ( x ) da seguinte maneira

f x = 2 + x 2 1 + x 2 = 1 + 1 + x 2 1 + x 2

f x = 1 + ( 1 + x 2 ) 1 + x 2

Agora, iremos dividir o termo entre parênteses e o termo fora dos parênteses pelo denominador

f x = 1 + 1 + x 2 1 + x 2

f x = 1 1 + x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, podemos utilizar a tabela. No primeiro termo, iremos utilizar a regra de derivação de funções trigonométricas inversas e no segundo termo, a regra da potência

f x = 1 1 + x 2 + 1

F x = tan - 1 ⁡ x + x + C

Ao derivar F ( x ) , temos

F ' x = 1 1 + x 2 + 1

Então como

F ' x = f ( x )

Então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

F x = tan - 1 ⁡ x + x + C

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