Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 24
Encontre .
Passo 1
Oi pessoal, tudo certinho? 😎
Sabemos a segunda derivada
de uma função desconhecida , e precisamos encontrar quem é essa função
Uma boa ideia para resolver essa questão é responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva, né? Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
🚨 Se liga: somando uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Assim, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer.
Para encontrar a função , vamos ter que obter as duas primitivas abaixo:
- A primitiva de ou seja, é tal que
- A primitiva de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Já temos tudo que precisamos para resolver essa questão, bora lá! 💪
Passo 2
Começamos encontrando a primitiva de
Para isso, utilizamos a Regra a Potência em cada um dos seus termos, temos que a primitiva de é dada por
não esquece da constante , combinado?
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primitiva da função encontrada no passo anterior.
Utilizando a Regra da Potência em cada um dos seus termos, obtemos:
Simplificando, vamos ter que a função procurada , primitiva de , é dada por:
onde é uma constante qualquer que não podemos esquecer.
Passo 4
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a função encontrada duas vezes, e confirmar se a segunda derivada é a mesma dada no enunciado.
Temos que a primeira derivada é
E a segunda derivada é
assim como no enunciado! Então não fizemos nenhuma besteira 😊.
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.