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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 81

Encontre o raio de convergência da série

sum_(n = 1)^(oo) (2 * 5 * 8 * ... * (3 n - 1))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 n)) x^n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

sum_(n = 1)^(oo) u_n = sum_(n = 1)^(oo) (2 * 5 * 8 * ... * (3 n - 1))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 n)) x^n

Vamos aplicar o teste da razão para série sum_(n = 1)^(oo) |u_n| , assim, temos que:

underset(n -> oo)(lim) |(u_n + 1)/(u_n)| = underset(n -> oo)(lim) |(2 * 5 * 8 * ... * (3 n - 1) ( 3 n + 2 ))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 n) ( 2 n + 2 )) x^(n + 1) * (2 * 4 * 6 * ... * (2 n))/(2 * 5 * 8 * ... * (3 n - 1) x^n)|

Eliminando os termos comuns,

underset(n -> oo)(lim) |(( 3 n + 2 ) x)/(( 2 n + 2 ))| = |x| underset(n -> oo)(lim) ((3 n + 2)/(2 n + 2)) = |x| * (3)/(2) = (3)/(2) |x|

Sendo assim, a série converge absolutamente para (3)/(2) |x| < 1 ⟹ |x| < (2)/(3) . Logo, o raio de convergência da série é (2)/(3) .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

O raio de convergência da série é (2)/(3) .

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