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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 15

Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n ²

Sugestão: lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é o Teste da Raiz. No caso, vamos calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n ²

Vamos assumir que

a n = 1 - 1 n n ²

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n ² n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n

Vamos fazer uma adaptação:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + ( - 1 ) n n

Com isso, vamos aplicar a sugestão do enunciado, achando:

lim n → ∞ ⁡ 1 + ( - 1 ) n n = e - 1 = 1 e = 0,37

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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