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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 79

Utilize uma representação em série de s e n   3 x para encontrar valores de r e s para os quais.

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x x 3 + r x 2 + s = 0  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

Usando a série de potência da função s e n   3 x , temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x x 3 + r x 2 + s = 0  

lim x → 0 ⁡ 3 x - 3 x 3 3 ! + 3 x 5 5 ! - 3 x 7 7 ! + …   x 3 + r x 2 + s = 0  

lim x → 0 ⁡ x 3 - 27 x 2 3 ! + 243 x 4 5 ! - 2187 x 6 7 ! + …   x 3 + r x 2 + s = 0  

lim x → 0 ⁡ 3 - 27 x 2 3 ! + 243 x 4 5 ! - 2187 x 6 7 ! + …   x 2 + r x 2 + s = 0  

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 9 2 + 81 x 2 40 - 2 43 x 4 560 + … + r x 2 + s = 0  

Para esse limite ser zero é preciso que:

3 x 2 - r x 2 = 0   ⟹ r =   - 3

s - 9 2 = 0   ⟹ s =   9 2  

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

r =   - 3 e s =   9 2 .

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