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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 16

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )

Passo 1

Para encontrar a representação em serie de potência de   f x = x 2 t g - 1 ( x 3 ) , vamos dividir o problema em duas partes. Primeiro vamos encontrar a serie de potência de t g - 1 x ³ , no qual o resultado é bem próximo da série de potência de t g - 1 x .

Passo 2

Então a série de potência de t g - 1 x é:

t g - 1 x = ∫ 1 1 + x ² d x = ∫ 1 - x 2 + x 4 - x 6 + … d x = C + x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …  

Se fizermos x = 0 , temos que C = 0 .

Então:

t g - 1 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

Desta forma t g - 1 x ³ é:

t g - 1 x 3 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( x ³ ) 2 n + 1 2 n + 1

Passo 3

Mas nos queremos a série de potência para f x = x 2 t g - 1 ( x 3 ) , então vamos multiplicar ambos os lados por x ² :

x ² t g - 1 x 3 = x ² ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( x ³ ) 2 n + 1 2 n + 1

f x = x ² t g - 1 x 3 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 6 n + 3 ∙ x ² 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 6 n + 5 2 n + 1

Passo 4

Calculando o raio de Convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )   = lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )   = lim n → ∞ ⁡ 2 n ( 1 + 1 n ) n ( 2 + 1 n ) = lim n → ∞ ⁡ 2 ( 1 + 1 n ) ( 2 + 1 n ) = 1

Resposta

f x = x ² t g - 1 x 3 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 6 n + 5 2 n + 1

Raio de convergência: R = 1

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