Exercícios de Derivação e Integração de Séries de Potência - Lista de Exercícios Resolvida

Responda as seguintes questões:

1. Sabendo que a função é analítica para , mostre que:
2. Seja a soma da série . Determine a função em termos de funções elementares. Justifique.

a)Determine a expansão em série de potências em torno de da função e encontre os valores de para os quais a expansão é válida

b)Calcule a integral

com erro menor que

Obtenha um expressão da série abaixo e o respectivo raio de convergência:

Encontre uma representação em série de potências em torno de da função

Sugestão:

Responda as seguintes questões:

1. Sabendo que a função é analítica para , mostre que:
2. Seja a soma da série . Determine a função em termos de funções elementares. Justifique.

Seja a função definida pela série de potências

1. Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de

Encontre uma representação em série de potências para a função

(Sugestão: Derive a função )

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

32)

Questão 1: Considere as seguintes afirmações:

1. Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência .
2. Se uma série de potências com raio de convergência então a série

Possui o mesmo raio de convergência.

3. Se a série converge então o raio de convergência da série de potências

É maior ou igual a .

Podemos afirmar que:

1. Só (2) é verdadeira.
2. Todas são verdadeiras.
3. Só (2) e (3) é verdadeiras.
4. Só (3) é verdadeira.
5. Só (1) e (2) são verdadeiras.

Expresse a integral como soma de uma série numérica.

Encontre uma representação em série de potências em torno de da função

E determine o intervalo de convergência.

Sugestão:

Considerar a série de potências

1. Determinar o raio de convergência e estudar o comportamento da série nos valores extremos do intervalo aberto de convergência absoluta.
2. Calcular a função que representa a série no intervalo aberto de convergência absoluta. Sugestão: Usar os resultados de derivação e integração termo a termo e lembrar que uma primitiva da função é dada por .

Questão 8: Considere as séries numéricas

Podemos afirmar que:

1. A série (1) converge para e a série (2) converge para .
2. A série (1) converge para e a série (2) converge para .
3. A série (1) converge para e a série (2) converge para .
4. A série (1) converge para e a série (2) converge para .
5. A série (1) converge para e a série (2) converge para .

Determine a série de Taylor da função em torno do ponto . Qual é o raio de convergência dela?

A expansão em série de potências centrada no da função e seu respectivo intervalo de convergência são:

A soma da série

é:

A soma da série

Para é:

Use uma série de potências para aproximar a integral . Utilize em sua aproximação ao menos um polin��mio de grau .

Questão 9: A soma da série

É...

Teste 1: O desenvolvimento em série de potências da função

Centrada no é:

A função dada pela série

É solução de qual equação diferencial?

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

29)

Encontre uma representação em série de potências em torno de da função

Sugestão:

1. Represente a função

Como uma série de potências de , determinando o intervalo de convergência.

2. Use o item para obter uma série de potências para a função , indicando também o seu intervalo de convergência.

Considere a função

Escreva como série de potências

centrada em utilizando duas técnicas distintas e encontre intervalo de convergência. Primeiro, recorra à função

Em seguida, utilize as técnicas pertencentes à série de Maclaurin.

O desenvolvimento em série de potências da função

Centrada no e o respectivo intervalo de convergência são:

3. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

Encontre uma representação em série de potencias em torno de da função.

Sugestão: Utilize o teorema de integração de séries de potências

Encontre uma representação em série de potencias em torno de da função.

Sugestão: Utilize o teorema de integração de séries de potências

Considere a equação diferencial ordinária:

c) Determine a relação de recorrência da solução em série de potências em torno de associada à maior das duas raízes da equação indicial.

A função dada pela série

É solução de qual equação diferencial?

Mostre que a função definida por

Satisfaz a equação diferencial