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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 14

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

s e n   x - x + x 3 3 !

Passo 1

Falaaa amigos! Tudo bem com vocês? Pois bora lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! … + - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 2

Dessa forma podemos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

s e n   x - x + x 3 3 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! - x + x 3 3

Logo, podemos escrever os termos da nossa série como:

s e n   x - x + x 3 3 ! = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + … - x + x 3

Passo 3

Podemos então perceber que a função da nossa série é a seguinte:

s e n   x - x + x 3 3 ! = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + …

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + …

Espero que tenham curtido pessoal! Nos vemos na próxima questão!

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