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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 26

Determine a diferencial da função.

u = x 2 + 3 y 2

Passo 1

Opa, tudo beleza? Questãozinha de diferencial, vamos lá! A questão nos dá uma função u ( x ,   y ) e pede para encontrarmos o diferencial dela, no caso d u !

Mas como encontramos esse diferencial?

Para uma função f ( x , y ) , a diferencial é dada por

d f = ∂ f ∂ x   d x + ∂ f ∂ y   d y

Ou ainda, adaptando para o nosso caso

d u = ∂ u ∂ x   d x + ∂ u ∂ y   d y

Então só precisamos encontrar essas derivadas parciais e substituir na fórmula!

Passo 2

Relembrando: Para encontrar derivadas parciais nós consideramos como constante todas as variáveis que não estão envolvidas na derivação!

Dessa forma, para encontrar ∂ u / ∂ x nós tratamos y como constante:

u ( x ) = x 2 + 3 y 2

∂ u ∂ x = ∂ x 2 + 3 y 2 ∂ x

Que pode ser resolvido com a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Então para o nosso caso nós temos

∂ u ∂ x = d a d a ⋅ d ( x 2 + 3 y 2 ) d x

∂ u ∂ x = 1 2 a ⋅ 2 x

De forma que

∂ u ∂ x = x x 2 + 3 y 2

Da mesma forma, para encontrar ∂ u / ∂ y nós tratamos x como constante:

u ( y ) = x 2 + 3 y 2

∂ u ∂ y = ∂ x 2 + 3 y 2 ∂ y

∂ u ∂ y = 1 2 x 2 + 3 y 2 ⋅ 6 y

∂ u ∂ y = 3 y x 2 + 3 y 2

Passo 3

Agora que temos todos os termos da equação do diferencial já podemos substituir na fórmula!

d u = ∂ u ∂ x   d x + ∂ u ∂ y   d y

d u = x x 2 + 3 y 2   d x + 3 y x 2 + 3 y 2   d y

Portanto

d u = 1 x 2 + 3 y 2 x   d x + 3 y   d y

Resposta

d u = 1 x 2 + 3 y 2 x   d x + 3 y   d y

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