Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

61.

∑ n = 0 ∞ 2 n x n

Passo 1

Tudo beleza, gente?

Olha só, a questão quer os valores de x para a série convergir, e depois calcular a soma dela.

Colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma, ficando mais fácil a visualização:

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = ∑ n = 0 ∞ 2 x n

Epa, epa, epa! Esse formato é característico de uma série geométrica!

Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que a = 1 (descobrimos quando substituímos n = 0   na série dada) e r = 2 x , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum.

Vamos relembrar que, para uma série geométrica:

  • Se r ≥ 1 , a série é divergente
  • Se r < 1 , a série é convergente.

Então vamos encontrar os valores de x , pra que a série convirja, ou seja, pra que r < 1 .

Passo 2

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x .

Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

2 x < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

2 < x   o u   x < - 2

E esses são os valores de x para os quais a série é convergente!

Passo 3

Por fim, faremos a soma da série geométrica através da sua fórmula:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Essa fórmula é importante quando estamos trabalhando com séries geométricas. Não esquece dela não!

Sendo a = 1 e r = 2 x , substituímos:

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = 1 1 - 2 x

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = 1 x - 2 x

Na divisão entre frações, repetimos a primeira fração e invertemos a segunda:

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = 1 1 × x x - 2 = x x - 2

Resposta

2 < x   o u   x < - 2

∑ n = 0 ∞ 2 n x n = x x - 2

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