Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 61
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
61.
Passo 1
Tudo beleza, gente?
Olha só, a questão quer os valores de para a série convergir, e depois calcular a soma dela.
Colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma, ficando mais fácil a visualização:
Epa, epa, epa! Esse formato é característico de uma série geométrica!
Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso temos que (descobrimos quando substituímos na série dada) e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Vamos relembrar que, para uma série geométrica:
- Se , a série é divergente
- Se , a série é convergente.
Então vamos encontrar os valores de , pra que a série convirja, ou seja, pra que .
Passo 2
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de .
Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
E esses são os valores de para os quais a série é convergente!
Passo 3
Por fim, faremos a soma da série geométrica através da sua fórmula:
Essa fórmula é importante quando estamos trabalhando com séries geométricas. Não esquece dela não!
Sendo e , substituímos:
Na divisão entre frações, repetimos a primeira fração e invertemos a segunda: