Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 19
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Vamos lá! Para encontrar o raio de convergência iremos precisar aplicar um método de teste de convergência em uma série de potência. Mas antes disso, iremos transformar a função em uma série de potência geométrica. Repare que, se a série será geométrica, então fará bastante sentido testar a convergência pelo método da série geométrica.Agora que tudo ficou claro. Vamos iniciar?
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
Lembrando que temos que tentar fazê-la ficar no padrão da série geométrica. Que é do tipo:
Então vamos tentar manipular de forma a obter isso.
Sabemos que
Então podemos reescrever a função como:
E agora?
Então vamos lá. Vamos lembrar dos teoremas envolvendo séries.
Se o Raio de convergência de uma função é R, então de sua derivada também é.
De modo que se diferenciarmos:
Aplicando a regra do quociente
Que é o mesmo que:
Então temos:
Lembrando que . Então:
Passo 3
E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:
Passo 4
Por definição:
Em que: se a série é convergente.
De modo que
Sendo assim, o raio de convergência da série de potências é dado por: