Use série de potência para resolver a equação diferencial.

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :

E agora vamos simplificar os índices:

E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em , então devemos colocar o primeiro e o segundo termo para fora e assim deixar o somatório começando em .

Assim podemos unir os dois termos em uma única soma:

Assim temos que .

E mais, como , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

Lembrando que , chegamos à fórmula de recorrência:

• Para :
• Para :
• Para :
• Para :

Daqui podemos ver que são todos nulos, pois . Também vemos que são nulos, pois . Então . Agora vamos ver mais números múltiplos de para entendermos melhor qual é a recorrência:

• Para :
• Para :

Assim podemos ver que para temos:

Aqui não tem muito mistério para enxergar a recorrência, é a prática que vai deixar cada vez mais fácil de você identificar o coeficiente certo =)

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente podemos voltar para o passo e substituir na solução:

Como , então a solução fica:

E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função ! Então a solução final fica:

Certo! Vamos pra próxima?