Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 8
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.
8.
Passo 1
Fala galera!!
Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:
Para isso, vamos começar usando o teste da razão.
Passo 2
O teste diz o seguinte:
Se é uma série positiva e
então:
(a) A série é absolutamente convergente se .
(b) A série é divergente se .
(c) O teste da relação é inconclusivo se .
Passo 3
Temos que:
Então:
Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:
Agora você, assim como eu, deve estar se perguntando!! Para onde vai esse limite?
Vamos então resolver esse limite:
Vamos aplicar
Temos a indeterminação , assim, aplicando L’hopital temos:
Temos então que:
Ou seja:
Passo 4
Assim, a série de potências converge absolutamente para . Ou seja:
A série de potências diverge absolutamente para
Portanto, o raio de convergência da série de potências é .