Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 12
Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais. Expresse o intervalo de convergência.
Passo 1
Fala pessoal! Tudo certo? Precisamos escrever a função como uma série de potências.
Comparando a função existente com a definição de s��rie geométrica.
Para isso iremos utilizar o recurso de reescrever como frações parciais, e a partir de cada termo da soma iremos comparar cada fração com a definição de séries geométricas.Vamos começar?
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
O primeiro passo para fazer frações parciais é escrever o denominador como forma de produto.
Podemos reescrever a função como:
Agora, reescrevendo em frações parciais, temos:
Então:
Dessa forma, temos que:
Para , temos:
E para , temos:
Então as frações são:
Passo 3
Dessa forma, a equação se torna:
Precisamos escrever da forma:
Perceba que no padrão da série geométrica, o denominador é uma subtração.Precisamos transformar a equação de modo termos uma subtração semelhante. Veja:
Para a primeira fração temos:
De modo que:
Para a segunda fração teremos:
Temos que ter no denominador . Portanto vamos dividir tudo por
Fazendo a alteração do sinal:
Ou seja:
E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:
Passo 4
Vamos nos recordar quando uma série geométrica converge?
Por definição:
Em que: se a série é convergente.
Então temos que:
Então:
Além disso:
Converge quando:
Representamos como a soma de duas séries geométricas, sendo que a primeira converge para e a segunda converge para .
Lembrando que para uma soma de séries convergir, a s duas séries devem ser convergentes.
Dessa forma, a interseção entre os intervalos fornece o intervalo de convergência, que é de: