Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 37
Encontre .
Passo 1
Vamos lá, nessa questão temos que a derivada de uma função é dada por:
E queremos encontrar .
Sabemos também que
E que a função é definida para
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Vamos usar o valor que nos foi dado que é:
Para encontrar o valor da constante .
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função multiplicando a expressão:
Isso vai facilitar a encontrar sua antiderivada que é:
Aqui vamos usar a seguinte regra para a antiderivada. A antiderivada da secante ao quadrado é a tangente (aí, você teria que lembrar que a derivada da tangente é a secante ao quadrado).
E a antiderivada da secante vezes tangente é a secante (você teria que lembrar que a derivada da secante dá em secante vezes tangente).
Agora é só juntar tudo e somar com a constante .
Passo 3
Por último é só vamos aplicar o ponto para achar o valor de , vamos lá:
A tangente de vale e secante nada mais é que sobre cosseno, logo:
O cosseno de vale , portanto:
Racionalizando temos:
Substituindo o valor de na expressão:
Pronto, achamos !!