Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 87
Se é contínua, e , calcule:
Passo 1
Opa! Bora arregaçar as mangas pra uma questãozinha de cálculo?! Nessa daqui precisamos calcular o seguinte limite:
O enunciado também fala que é contínua, e .
O problema aqui é que a gente não conhece , então a melhor coisa que a gente pode fazer é ir comendo pelas beradas, usando as informações que o enunciado nos deu pra ver onde ela irá nos levar!
Passo 2
Vamos analisar o limite com os dados que foram dados.
Quando , teremos a seguinte situação:
Opa, mas a gente conhece que é igual a zero, então temos uma indeterminação:
Esse resultado não é a resposta que a gente quer, porém ele com certeza nos ajudou a encontrar qual método de resolução iremos usar.
E que método é esse? Muito bem! É a Regra de l’Hôspital.
Como obtemos uma forma indeterminada do tipo quando , a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Agora vamos encontrar este limite. Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, agora é só aplicá-la para que vai ser sucesso! Neste método temos que:
Vamos chamar e . As derivadas dessas funções são:
É claro que não conseguimos calcular de fato , mas usamos a regra da cadeia pra nos aproximarmos mais do resultado. Agora :
Substituindo esses valores, obtemos:
Calculando o limite:
Sabemos que , logo:
Portanto:
Ufaa!