Se f' é contínua, f(2) = 0 e f'(2) = 7 , calcule:

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x  

Passo 1

Opa! Bora arregaçar as mangas pra uma questãozinha de cálculo?! Nessa daqui precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x  

O enunciado também fala que f ' é contínua, f 2 = 0 e f ' 2 = 7 .

O problema aqui é que a gente não conhece f , então a melhor coisa que a gente pode fazer é ir comendo pelas beradas, usando as informações que o enunciado nos deu pra ver onde ela irá nos levar!

Passo 2

Vamos analisar o limite com os dados que foram dados.

Quando x → 0 , teremos a seguinte situação:

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x = f 2 + 3 0 + f 2 + 5 0 0 = f 2 + f 2 0

Opa, mas a gente conhece f ( 2 ) que é igual a zero, então temos uma indeterminação:

f 2 + f 2 0 = 0 0

Esse resultado não é a resposta que a gente quer, porém ele com certeza nos ajudou a encontrar qual método de resolução iremos usar.

E que método é esse? Muito bem! É a Regra de l’Hôspital.

Como obtemos uma forma indeterminada do tipo 0 0 quando x → 0 , a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 3

Agora vamos encontrar este limite. Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, agora é só aplicá-la para que vai ser sucesso! Neste método temos que:

lim x → a ⁡ h x g ( x ) = lim x → a ⁡ h ' x g ' ( x )

Vamos chamar h x = f 2 + 3 x + f 2 + 5 x e g x = x . As derivadas dessas funções são:

h ' x = 3 f ' 2 + 3 x + 5 f ' 2 + 5 x

É claro que não conseguimos calcular de fato h ' x , mas usamos a regra da cadeia pra nos aproximarmos mais do resultado. Agora g ' ( x ) :

g ' x = 1

Substituindo esses valores, obtemos:

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x = lim x → 0 ⁡ 3 f ' 2 + 3 x + 5 f ' 2 + 5 x

Calculando o limite:

lim x → 0 ⁡ 3 f ' 2 + 3 x + 5 f ' 2 + 5 x = 3 f ' 2 + 5 f ' 2

Sabemos que f ' 2 = 7 , logo:

3 f ' 2 + 5 f ' 2 1 = 3 7 + 5 7 = 56

Portanto:

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x = 56

Ufaa!

Resposta

lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f 2 + 5 x x = 56

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