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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 21

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

21. x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4 , podemos encontrar as primeiras derivadas dela e tentar encontrar um padrão. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4 → f 0 = 4

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 - 5 → f ' 0 = - 5

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = 24 x - 12 → f ' ' ' 0 = - 12

f ' ' ' ' x = 24 → f ' ' ' ' 0 = 24

A derivada de quinta ordem e as derivadas de ordem superior são 0, então o polinômio de Maclaurin é de ordem 4, que possui apenas 4 + 1 = 5 termos. Assim, o polinômio de Maclaurin para isso é

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' ' ' ' 0 4 ! x 4

Desenvolvendo os termos

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = 4 - 5 x + 0 x 3 2 ! - 12 x 3 3 ! + 24 x 4 4 ! = 4 - 5 x - 2 x 3 + x 4

Passo 2

Observe que adquirimos o polinômio original. Lembre-se qual é o propósito da série de Taylor e Maclaurin: como uma aproximação local para funções, especialmente aquelas que são transcendentais ou não podem ser expressas como configurações finitas de operações algébricas conhecidas. Claro, a melhor aproximação para um polinômio seria o próprio polinômio.

f x = x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4

Resposta

f x = x 4 - 2 x 3 - 5 x + 4

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