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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

5. f x = 1 x ,   a = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Temos f x = 1 x e devemos construir os três primeiros polinômios de Taylor centrados em a = 1 . Primeiro, vamos encontrar as três primeiras derivadas da seguinte forma:

f x = 1 x → f 2 = 1 2

f ' x = - 1 x 2 → f ' 2 = 1 2 2 = 1 4

f ' ' x = 2 x 3 → f ' ' 2 = 2 ( 2 ) 3 = 1 4

f ' ' ' x = - 6 x 4 → f ' ' ' 2 = - 6 2 4 = - 3 8

Passo 2

Podemos agora construir os primeiros polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 da seguinte maneira:

Para o polinômio de ordem 0, obtemos que

P 0 x = f 2 = 1 2

Para o polinômio de ordem 1

P 1 x = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

P 1 x = 1 2 + - 1 / 4 1 ! x - 2 1 = 1 2 - 1 4 ( x - 2 )

Passo 3

Já para o polinômio de ordem 2

P 2 x = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2

Substituindo os termos

P 2 x = 1 2 + - 1 4 1 ! x - 2 1 + 1 / 4 2 ! x - 2 2

Que nos fornece de resultado

P 2 x = 1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2

E para o polinômio de ordem 3

P 3 x = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3

E com isso,

P 3 x = 1 2 + - 1 4 1 ! x - 2 1 + 1 4 2 ! x - 2 2 + - 3 8 3 ! x - 2 3

Portanto, nós temos o seguinte resultado

P 3 x = 1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2 - 1 16 x - 2 3

Resposta

P 0 x = 1 2

P 1 x = 1 2 - 1 4 x - 2

P 2 x = 1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2

P 3 x = 1 2 - 1 4 x - 2 + 1 8 x - 2 2 - 1 16 x - 2 3

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Encontre a série de Maclaurin f (por qualquer método), e seu raio de convergência. Plote f e seus primeiros polinômios na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ? f
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = 1 - sen ⁡ x x 3 , x ≠ 0 1 6 , x = 0
Avalie a integral indefinida como uma série infinita. ∫ x 3 + 1 d x
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada. ∫ 0 0,1 1 x 3 + 1 d x ,( e r r o10 - 8 )
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência. f x = 1 - 8 x 4