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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 25

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

25. f x = x 4 + x 2 + 1 ,   a = - 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Taylor para f x = x 4 + x 2 + 1 , gerado no ponto a = - 2 , podemos encontrar as primeiras derivadas dele. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = x 4 + x 2 + 1 → f - 2 = - 2 4 + - 2 2 + 1 = 21

f ' x = 4 x 3 + 2 x → f ' - 2 = 4 - 2 3 + 2 - 2 = - 36

f ' ' x = 12 x 2 + 2 → f ' ' - 2 = 12 - 2 2 + 2 = 50

f ' ' ' x = 24 x → f ' ' ' - 2 = 24 - 2 = - 48

f ' ' ' ' x = 24 → f ' ' ' ' - 2 = 24

Portanto, para todo k > 4 ,   k ∈ N , a k-ésima derivada da função é igual a 0 .

f k x = 0 ,   k > 4 ,   k ∈ N

Passo 2

A derivada de quinta ordem e as derivadas de ordem superior são 0, então o polinômio de Taylor é de ordem 4, que possui apenas 4 + 1 = 5 termos. Assim, o polinômio de Taylor para isso é:

∑ k = 0 4 f n - 2 n ! x + 2 n = 21 - 36 ∙ x + 2 + 50 2 x + 2 2 + - 48 6 x + 2 3 + 24 24 x + 2 4

Portanto,

∑ k = 0 4 f n - 2 n ! x + 2 n = 21 - 36 ∙ x + 2 + 25 x + 2 2 - 8 x + 2 3 + x + 2 4

Resposta

f x = 21 - 36 ∙ x + 2 + 25 x + 2 2 - 8 x + 2 3 + x + 2 4

Exercícios de Livros Relacionados

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência. f x = x 2 2 + x
Expanda 1 + x 3 como uma série de potências.Use a parte a) para estimar 1,01 3 com precisão de quatro casas decimais.
Use a série binomial para expandir 1 / 1 + x 2 .Use a parte a) para encontrar a série de Maclaurin para senh - 1 ⁡ x .
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n x quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na par
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n x quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na par