Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 12
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto . Determine também, o raio de convergência da série.
12.
Passo 1
Fala galera!!!
O problema nos forneceu a seguinte função:
no ponto .
Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto , e também, determinar o raio de convergência da série.
Passo 2
No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função sobre o ponto é dada por:
Ou seja:
Passo 3
Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:
A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.
Passo 4
Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:
Substituindo, temos:
Logo, podemos escrever a da seguinte maneira:
Assim, a representação da série Taylor para a é .
Passo 5
Como a série possui apenas um número limitado de termos, converge absolutamente para todos os x.
Portanto, o raio de convergência da série de potências é .